AR modely pre diferencie úrokových mier (10 bodov)

V tejto úlohe budete hľadať AR model pre prvé diferencie úrokových mier, skúmať jeho vlastnosti, predikovať úrokové miery a pomocou simulácií odhadovať, aké hodnoty úrokových mier môžeme od modelu očakávať. Pracovať budete s reálnymi mesačnými dátami z Európskej centrálnej banky, ktoré sú dostupné na webe: https://data.ecb.europa.eu/data/data-categories/financial-markets-and-interest-rates/interest-rate-statistics-convergence-purposes/long-term-interest-rates. Pre zjednodušenie som na stránke k predmetu uložila očistené dáta v csv formáte. Môžete pracovať priamo s týmito dátami, ktoré do R-ka načítate príkazom:

data <- read.csv("https://anna-hlubinova.github.io/2026_ECB_data_upravene.csv", sep = ";")

Vyberte si jeden zo štátov, pre ktorý máme v dátach dostupné úrokové miery, s týmito podmienkami:

Každý, resp. každá dvojica pracuje s inými dátami. Rezervácia dát prebieha v tabuľke https://bit.ly/3V6rBVD v hárku DÚ 2.

Časť A: Príprava a zobrazenie dát (1 bod)

Spravte z vašich dát časový rad. Pomocou funkcie window extrahujte z pôvodného časového radu interval od januára 2000 (alebo neskôr, podľa dostupnosti dát pre vami vybraný štát) do decembra 2024. Napíšte časový rozsah dát, s ktorými pracujete. Zobrazte časový priebeh úrokových mier a ich diferencií.

Časť B: AR modely (3 body)

Pre diferencie úrokových mier odhadnite AR modely rádu 0 (teda model je konštanta plus biely šum - v R-ku sa dá odhadovať ako sarima(data, 0, k, 0)), 1, 2, 3, 4, 5. Odhadujte ich tak, aby ste pomocou týchto modelov mohli predikovať úrokové miery (nie ich diferencie).

Spravte aj tabuľku, kde v riadkoch budú jednotlivé modely a v stĺpcoch bude:

  • slovný komentár k výsledkom Ljung-Boxovho testu - či je na základe neho model dobrý alebo nie,
  • hodnota Bayesovho informačného kritéria.

Za “dobrý model” budeme považovať taký, pre ktorý sú p-hodnoty Ljung-Boxovho testu pre všetky počty korelácií od minimálneho po 20 väčšie ako 0,05. Ktoré modely vyšli ako dobré?

Vyberte z dobrých modelov ten, ktorý má najnižšiu hodnotu Bayesovho informačného kritéria. S týmto modelom budete pracovať vo všetkých ďalších častiach. Ak by najnižšiu hodnotu BIC spomedzi dobrých modelov mal model AR(0), vyberte namiesto neho dobrý model rádu aspoň 1 s najnižšou hodnotou BIC.

Časť C: Vlastnosti vybraného modelu (2 body)

  • Zapíšte odhadnutý model pre diferencie úrokových mier \(\Delta x_t = x_t - x_{t-1}\) v tvare \[\Delta x_t = \delta + \alpha_1 \Delta x_{t-1} + \dots + \alpha_p \Delta x_{t-p} + u_t\] s konkrétnymi číselnými hodnotami koeficientov.
  • Korene akého polynómu počítame, aby sme zistili stacionaritu procesu \(\Delta x_t\)? Ako musia výjsť, aby bol proces stacionárny? Čo vyšlo?
  • Zakreslite korene do komplexnej roviny spolu s jednotkovou kružnicou.
  • Čo z toho vyplýva pre stacionaritu samotných úrokových mier \(x_t\)? Zdôvodnite.

Časť D: Predikcie (2 body)

Spravte pomocou vybraného modelu predikcie úrokových mier (nie diferencií) pre obdobie od januára 2025 do septembra 2026.

Zakreslite do jedného grafu farebne odlíšené: priebeh dát, z ktorých sa odhadoval model (prípadne po vynechaní nejakého vhodného začiatku dát, aby bola časť s predikciami dobre viditeľná), predikované úrokové miery, intervaly spoľahlivosti pre predikcie (+/- jedna a dve štandardné odchýlky) a skutočné hodnoty úrokových mier.

Okomentujte získané výsledky, pričom zodpoviete na otázky typu: Sú hodnoty systematicky vyššie alebo nižšie ako predikcie? Zmestia sa do intervalov spoľahlivosti? Ako by ste vysvetlili rozdiely?

Časť E: Simulácia maxima úrokových mier (2 body)

Súčasťou objektu s odhadnutým modelom je aj odhadnutá disperzia bieleho šumu \(\sigma^2\). Zistite, ako k tejto hodnote pristupovať.

Napíšte funkciu s parametrami x0 (začiatočná hodnota úrokovej miery) a n (počet pozorovaní), ktorá:

  1. pomocou funkcie arima.sim vygeneruje n diferencií z AR procesu s parametrami vybraného modelu (nezabudnite pritom na nenulovú strednú hodnotu diferencií),
  2. z nich pomocou funkcie cumsum zostrojí trajektóriu úrokových mier začínajúcu v hodnote x0,
  3. ako výstup vráti maximum tejto trajektórie.

Nechajte túto funkciu pomocou replicate zbehnúť \(10^4\)-krát, pričom x0 bude prvá úroková miera v dátach z časti A a n počet diferencií v dátach. Zobrazte histogram získaných maxím.

Extrémnou hodnotou nazveme takú, ktorá je menšia ako 2,5 % simulovaných hodnôt alebo väčšia ako 97,5 % simulovaných hodnôt. Pridajte do histogramu čiary, ktoré znázorňujú hranice pre extrémne hodnoty a skutočné maximum úrokových mier v dátach z časti A. Je skutočné maximum extrémne? Výsledok interpretujte.