Cvičenie 5: Autokorelačná funkcia AR procesu pomocou Yule-Walkerových rovníc

Nájdeme autokorelačnú funkciu AR(3) procesu \[x_t=1.5x_{t−1}−0.8x_{t−2}+0.2x_{t−3}+u_t\] pomocou Yule-Walkerových rovníc.

Pri tomto spôsobe riešenia je prvým krokom zostavenie Yule-Walkerových rovníc.

V našom prípade \[ \begin{align} x_t &=1.5x_{t−1}−0.8x_{t−2}+0.2x_{t−3}+u_t \\ \mathrm{E}[x_tx_{t-s}] &= 1.5 \mathrm{E}[x_{t-1}x_{t-s}] - 0.8\mathrm{E}[x_{t-2}x_{t-s}] + 0.2 \mathrm{E}[x_{t-3}x_{t-s}] + \mathrm{E}[u_tx_{t-s}] \\ \gamma(s) &= 1.5 \gamma(s-1) - 0.8 \gamma(s-2) + 0.2 \gamma(s-3) + \mathrm{E}[u_tx_{t-s}] \end{align}\]

Teda dostávame 4 rovnice pre počiatočné podmienky:

\[ \begin{align} s=0: \qquad \gamma(0) &= 1.5 \gamma(1) - 0.8 \gamma(2) + 0.2 \gamma(3) + \sigma ^2 \\ s=1: \qquad \gamma(1) &= 1.5 \gamma(0) - 0.8 \gamma(1) + 0.2 \gamma(2) \\ s=2: \qquad \gamma(2) &= 1.5 \gamma(1) - 0.8 \gamma(0) + 0.2 \gamma(1) \\ s=3: \qquad \gamma(3) &= 1.5 \gamma(2) - 0.8 \gamma(1) + 0.2 \gamma(0) \\ \end{align}\]

a diferenčnú rovnicu \(\gamma(s) = 1.5 \gamma(s-1) - 0.8 \gamma(s-2) + 0.2 \gamma(s-3)\), ktorá platí pre \(s \ge 4\).

Prenásobením vyššie uvedených rovníc \(\frac{1}{\gamma(0)}\) dostávame z rovníc pre autokovariancie \(\gamma(s)\) rovnice pre autokorelácie \(\rho(s)\). Naviac vieme, že platí \(\rho(0)=1\). Na nájdenie autokorelácií \(\rho(1), \rho(2), \rho(3)\) nám preto stačí riešiť 3 rovnice o 3 neznámych: \[ \begin{align} \rho(1) = 1.5 - 0.8 \rho(1) + 0.2 \rho(2) \\ \rho(2) = 1.5 \rho(1) - 0.8 + 0.2 \rho(1) \\ \rho(3) = 1.5 \rho(2) - 0.8 \rho(1) + 0.2 \end{align}\]

Maticový zápis: \[ \begin{equation} \begin{pmatrix} 1.8 & -0.2 & 0\\ -1.7 & 1 & 0 \\ 0.8 & -1.5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho(1)\\ \rho(2)\\ \rho(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.5\\ -0.8\\ 0.2 \end{pmatrix} \end{equation} \]

Yule-Wolkerove rovnice vyriešime v R-ku. Dostaneme ACF(k) pre \(k=1,2,3\). Následne v cykle z diferenčnej rovnice vypočítame ďalšie hodnoty ACF. Dostávame:

rho <- rep(0, times=10)
A <- matrix(data = c(1.8,-0.2,0,-1.7,1,0,0.8,-1.5,1), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)
b <- c(1.5, -0.8, 0.2)

 # prve tri zlozky ako riesenie sustavy
rho[1:3] <- solve(A,b) 

# z diferencnej rovnice
for (i in 4:10) rho[i] <- 1.5*rho[i-1] - 0.8*rho[i-2] + 0.2*rho[i-3] 

rho

##  [1] 0.9178082 0.7602740 0.6061644 0.4845890 0.3940068 0.3245719 0.2685702
##  [8] 0.2219991 0.1830569 0.1507001