Príklad 1: Woldova reprezentácia (6 bodov)

Uvažujte stacionárny AR(4) proces \(x_t\) z prvého príkladu v predchádzajúcej domácej úlohe. Pre jeho Woldovu reprezentáciu

\[x_t = \mu + \sum_{j=0}^\infty \psi_j u_{t-j}\]

odvoďte hodnotu konštanty \(\mu\), diferenčnú rovnicu pre koeficienty \(\psi_j\) a začiatočné podmienky k tejto diferenčnej rovnici.

Príklad 2: Príklady procesov s vlastnosťami (4 body)

Na nájdenie príkladov procesov s nasledujúcimi vlastnosťami sme použili ChatGPT.

  1. AR(3) proces, ktorého ACF nie je monotónna
  2. invertovateľný MA(2) proces, ktorého stredná hodnota je rovná 3
  3. stacionárny proces, pre ktorý ACF rádu 3 je rovná 0.36
  4. stacionárny proces, ktorého PACF pre lag 4 je nulová
  5. AR(2) proces, ktorého stredná hodnota je rovná 15
  6. MA(2) proces, ktorého disperzia je rovná 2024
  7. AR(2) proces, ktorého ACF má rovnakú hodnotu pre lag 1 a pre lag 2
  8. stacionárny proces, pre ktorý sa PACF rádu 2 rovná 0.6
  9. stacionárny proces, pre ktorý je PACF rádu 2 väčšia ako PACF rádu 1
  10. MA(20) proces, ktorého disperzia je rovná 23
  11. stacionárny proces s nekonštantnou strednou hodnotou, ktorá je v každom čase menšia ako 2024
  12. AR proces, ktorého ACF rádu 2 je záporná a ACF rádu 4 je kladná

Ak nie je povedané inak, proces musí byť stacionárny.

Stiahnite si zip súbor so screenshotmi výstupov z ChatGPT: https://anna-hlubinova.github.io/chatGPT.zip

Vašou úlohou je vybrať si jeden z dvanástich procesov uvedených vyššie (každý, resp. každá dvojica iný. Rezervácia procesov prebieha v tabuľke https://bit.ly/3zcqIAf v hárku DÚ 3). Následne je vašou úlohou kriticky zhodnotiť výstup z ChatuGPT. Ak je výstup správny, dokážte vlastnými výpočtami, že uvedený proces má požadované vlastnosti (napríklad tak, že overíte stacionaritu, vypočítate disperziu, vypočítate ACF a podobne). Ak sú v postupe vynechané nejaké dôležité kroky, doplňte ich.

Pokiaľ si myslíte, že je výstup nesprávny, napíšte kde nastala chyba (alebo chyby). Ak je to možné, opravte ich tak, aby proces naozaj mal požadované vlastnosti. V niektorých prípadoch bude možno výhodnejšie postupovať úplne iným spôsobom ako umelá inteligencia. Aj v tomto prípade dokážte, že uvedený proces má požadované vlastnosti (napríklad tak, že overíte stacionaritu, vypočítate disperziu, vypočítate ACF a podobne).