Cvičenie 1: Biely šum, stacionarita, autokorelačná funkcia
Príklad 1
Nech platí: \( E(X) = 2 \), \( E(Y) = 0 \), \( Var(X) = 9 \), \( Var(Y) = 4 \) a \( Corr(X,Y) = 0.25 \). Nájdite:
- \( Var(X + Y) \),
- \( Cov(X, X + Y) \),
- \( Corr(X + Y, X - Y) \).
Príklad 2
Majme dané postupnosti nezávislých rovnako rozdelených náhodných premenných \( X_t, Y_t \), pričom:
- \( P(X_t = 0) = P(X_t = 1) = \frac{1}{2} \),
- \( P(Y_t = -1) = P(Y_t = 1) = \frac{1}{2} \),
- pre ľubovoľné \( s, t \) sú \( X_t \) a \( Y_s \) nezávislé.
Definujme \( Z_t = X_t(1 - X_{t-1})Y_t \). Dokážte, že:
- \( Z_t \) je biely šum,
- \( Z_t \) nie je postupnosť nezávislých rovnako rozdelených náhodných premenných.
Príklad 3
Nech \(u\) je biely šum, ktorého hodnoty sú nezávislé náhodné premenné s normálnym rozdelením. Definujme proces \(x_t=u_t u_{t−1}\).
- Vypočítajte strednú hodnotu, disperziu a autokovariancie procesu \(x_t\).
- Rozhodnite, či je tento proces stacionárny.
Príklad 4
Rozhodnite, či je nasledovné tvrdenie pravdivé a svoju odpoveď dokážte:
Ak Ljung-Boxov test zamieta hypotézu \( \rho(1) = 0 \), tak zamieta aj hypotézu \( \rho(1) = \rho(2) = \rho(3) = 0 \).
Príklad 5
Rozhodnite, či je nasledovné tvrdenie pravdivé a svoju odpoveď dokážte:
Ak \(x_t \) a \( y_t \) sú stacionárne procesy a \(a, b\) sú konštanty, tak aj proces \(a x_t + b y_t \) je stacionárny časový rad.
Príklad 6
Uveďte príklad procesu, ktorý má konštantnú strednú hodnotu, ale nie je stacionárny. Dokážte, že váš proces má požadované vlastnosti.
Príklad 7
Uveďte príklad procesu, ktorého stredná hodnota aj disperzia je rastúcou funkciou času. Dokážte, že váš proces má požadované vlastnosti.
Príklad 8
Odvoďte autokorelačnú funkciu procesu \( y_t = u_t - \frac{1}{2} u_{t-1}^2 \), ak biely šum \( u_t \) predstavuje realizácie nezávislých náhodných premenných s normálnym rozdelením.
Príklad 9 (str. 36 prednáškových slajdov)
Nech \( z_t \) je proces, ktorého hodnoty sú nezávislé náhodné premenné s rozdelením \(N (0,1)\). Ukážte, že nasledujúci proces je stacionárny a vypočítajte jeho ACF:
\[ y_t = \begin{cases} z_t, & \text{pre } t \text{ nepárne}, \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(z_t^2-1\right), & \text{pre } t \text{ párne}. \end{cases} \]