Príklad 1: Woldova reprezentácia

Daný proces: \(x_t = 5 - 0.4x_{t-1} + 0.1x_{t-2} + u_t\).

Analytické riešenie (explicitný predpis odvodený na hodine):

k <- 1:5
(1/2 + sqrt(14)/14) * (-0.2 - sqrt(0.14))^k + (1/2 - sqrt(14)/14) * (-0.2 + sqrt(0.14))^k
## [1] -0.40000  0.26000 -0.14400  0.08360 -0.04784

Na kontrolu Woldova reprezentácia z R-ka:

ARMAtoMA(ar = c(-0.4, 0.1), lag.max = 5)
## [1] -0.40000  0.26000 -0.14400  0.08360 -0.04784

Príklad 2: Woldova reprezentácia

Daný proces \(x_t = 5 + 0.4x_{t-1} - 0.1x_{t-2} + u_t\).

Analytické riešenie (explicitný predpis odvodený na hodine):

phi <- atan(sqrt(6)/2)
r <- sqrt(10)/10
r^k * (cos(k*phi) + 0.2/sqrt(0.06) * sin(k*phi))
## [1]  0.40000  0.06000 -0.01600 -0.01240 -0.00336

Na kontrolu Woldova reprezentácia z R-ka:

ARMAtoMA(ar = c(0.4, -0.1), lag.max = 5)
## [1]  0.40000  0.06000 -0.01600 -0.01240 -0.00336

Príklad 3: Stacionarita procesov

Proces \((1+0.3L+0.2L^2)x_t = 5+u_t\)

abs(polyroot(c(1,0.3, 0.2)))
## [1] 2.236068 2.236068

Znázornime korene v komplexnej rovine spolu s jednotkovým kruhom.

Užitočné funkcie a parametre:

  • ak dostne plot ako vstup komplexné čísla, nakreslí na x-ovú os ich reálnu a na y-ovú os imaginárnu časť
  • parameter asp = 1 zabezpečí rovnakú mierku na obidvoch osiach
  • funkcia curve nakreslí zadanú krivku pre zadaný rozsah nezávislej premennej, s parameterom add = TRUE ju dokreslí do pôvodného obrázku
  • osi môžeme kresliť pomocou abline (horizontálnu s parametrom h, vertikálnu s parametrom v)
# Vypočítame koreňe polynómu a vykreslíme ich
z <- polyroot(c(1,0.3,0.2))
plot(z, asp  = 1, pch = 19)

# Pridáme šedé čiary pre osi
abline(h = 0, col = "grey", lty = 2)
abline(v = 0, col = "grey", lty = 2)

# Pridáme krivku pre jednotkový kruh
curve(sqrt(1 - x^2), from = -1, to = 1, add = TRUE, col = "blue")
curve(-sqrt(1 - x^2), from = -1, to = 1, add = TRUE, col = "blue")

Oba korene v absolútnej hodnote väčšie ako 1 (t. j. ležia mimo jednotkového kruhu). Proces je stacionárny.

Proces \((1-0.25L+0.6L^2-0.55L^3)x_t = u_t\)

abs(polyroot(c(1,-0.25,0.6,-0.55)))
## [1] 1.082193 1.082193 1.552488

Oba korene ležia mimo jednotkového kruhu. Proces je stacionárny.

Proces \(x_t = 0.8x_{t-1} + 0.3x_{t-2} + 0.2x_{t-3} + u_t\)

abs(polyroot(c(1,-0.8,-0.3,-0.2)))
## [1] 0.8387136 2.4416205 2.4416205

Jeden koreň leží vnútri jednotkového kruhu. Proces nie je stacionárny.

Proces \(x_t = 0.25 + 0.1 x_{t-1} + 0.2 x_{t-3} + u_t\)

abs(polyroot(c(1,-0.1,0,-0.2)))
## [1] 1.612620 1.760836 1.760836

Všetky korene ležia mimo jednotkového kruhu. Proces je stacionárny.

Príklad 4: Nájdenie príkladu procesu s danou vlastnosťou - Jedno z možných riešení

Stacionárny AR(3) proces:

Všeobecný predpis AR(3) procesu je daný \(x_t =\delta + \alpha_1 x_{t-1} + \alpha_2 x_{t-2} + \alpha_3 x_{t-3} + u_t\). (Ne)stacionarita nezávisí od konštantného člena, preto môžeme voliť \(\delta=0\).

Idea: zvoliť koeficienty \(\alpha_i\) blízke nule.

Napríklad proces \(x_t = 0.1x_{t-1} + 0.1x_{t-2} + 0.1x_{t-3} + u_t.\)

abs(polyroot(c(1,-0.1,-0.1,-0.1)))
## [1] 1.73737 2.39913 2.39913

Všetky korene polynómu \(1-0.1L-0.1L^2-0.1L^3\) sú v absolútnej hodnote väčšie ako 1 (t. j. ležia mimo jednotkového kruhu). Proces je naozaj stacionárny.

Nestacionárny AR(4) proces:

Idea: Nech jeden z koreňov je rovný \(L=\frac{1}{2} <1\). To zaručí, že proces bude nestacionárny. Teda napríklad proces daný \((1-2L)(1-\frac{1}{2}L)(1-\frac{1}{3}L)(1-\frac{1}{4}L)x_t = u_t\), resp. po úprave \(x_t = \frac{37}{12} x_{t-1} - \frac{61}{24}x_{t-2} + \frac{19}{24} x_{t-3} - \frac{1}{12} x_{t-4} + u_t\).

Overenie:

abs(polyroot(c(1,-37/12,61/24,-19/24,1/12)))
## [1] 0.5 2.0 3.0 4.0

Naozaj, jeden koreň je rovný \(L=\frac{1}{2}\), preto proces nie je stacionárny.

Stacionárny AR(2) proces, ktorého stredná hodnota je rovná 15:

Napríklad proces \(x_t = 15 + 0.5 x_{t-1} - 0.5 x_{t-2} + u_t.\)

Overenie stacionarity:

abs(polyroot(c(1, -0.5, 0.5)))
## [1] 1.414214 1.414214

Oba korene polynómu \(1-0.5L+0.5L^2\) sú v absolútnej hodnote väčšie ako 1 (t. j. ležia mimo jednotkovej kružnice). Proces je naozaj stacionárny.

Strednú hodnotu AR(2) procesu \(x_t = \delta + \alpha_1 x_{t-1} + \alpha_2 x_{t-2} + u_t\) jednoducho vypočítame ako \[ \mathbb{E}(x_t) = \frac{\delta}{1-\alpha_1 - \alpha_2}\].

V našom prípade skutočne dostávame \[ \mathbb{E}(x_t) = \frac{15}{1-0.5 -(-0.5)} = 15\].